Банк начисляет проценты на вклады по номинальной ставке сложных процентов, равной 12,0 процентов годовых....

Для решения задачи на определение доходности вкладов по эффективной годовой ставке необходимо понять, как переходят от номинальной ставки сложных процентов к эффективной. Эффективная ставка учитывает частоту начисления процентов $капитализацию$ в течение года.

Формула для расчета эффективной годовой ставки выглядит так:

[ r{\text{эфф}} = \left(1 + \frac{r{\text{ном}}}{n}\right)^n - 1, ]

где:

• $r_{\text{эфф}}$ — эффективная годовая ставка,
• $r_{\text{ном}}$ — номинальная годовая ставка $вдесятичнойформе,тоесть12$,
• $n$ — количество периодов начисления процентов в году.

Теперь разберём каждый пункт отдельно.

а) Начисление процентов по полугодиям

При начислении процентов дважды в год $(n=2$), номинальная ставка равна $r_{\text{ном}}=0,12$. Подставляем значения в формулу:

$r_{\text{эфф}}={(1+\frac{0,12}{2})}^2-1$

$r_{\text{эфф}}={(1+0,06)}^2-1$

$r_{\text{эфф}}=1,{06}^2-1$

$r_{\text{эфф}}=1,1236-1=0,1236\text{или}12,36\mathrm{\%}.$

Таким образом, эффективная ставка при полугодовом начислении составляет 12,36% годовых.

б) Начисление процентов ежеквартально

При начислении процентов четыре раза в год $(n=4$):

$r_{\text{эфф}}={(1+\frac{0,12}{4})}^4-1$

$r_{\text{эфф}}={(1+0,03)}^4-1$

$r_{\text{эфф}}=1,{03}^4-1$

Теперь вычислим:

$r_{\text{эфф}}=(1,03{)}^4=1,125509-1=0,125509\text{или}12,55\mathrm{\%}.$

Таким образом, эффективная ставка при ежеквартальном начислении составляет 12,55% годовых.

в) Начисление процентов ежемесячно

При начислении процентов 12 раз в год $(n=12$):

$r_{\text{эфф}}={(1+\frac{0,12}{12})}^{12}-1$

$r_{\text{эфф}}={(1+0,01)}^{12}-1$

$r_{\text{эфф}}=1,{01}^{12}-1$

Для расчёта:

$r_{\text{эфф}}=(1,01{)}^{12}=1,126825-1=0,126825\text{или}12,68\mathrm{\%}.$

Таким образом, эффективная ставка при ежемесячном начислении составляет 12,68% годовых.

Вывод

Эффективная годовая ставка увеличивается с ростом частоты начисления процентов. Результаты следующие:

• Полугодовая капитализация: 12,36% годовых,
• Ежеквартальная капитализация: 12,55% годовых,
• Ежемесячная капитализация: 12,68% годовых.

Для расчета эффективной годовой ставки $ЕГС$ при сложных процентах используется формула:

$ЕГС={(1+\frac{r}{n})}^n-1$

где $r$ — номинальная ставка $вдесятичнойформе$, $n$ — количество периодов начисления процентов в году.

1. По полугодиям $n=2$: $ЕГС={(1+\frac{0.12}{2})}^2-1={(1+0.06)}^2-1=1.1236-1=0.1236\text{ или }12.36\mathrm{\%}$

2. Ежеквартально $n=4$: $ЕГС={(1+\frac{0.12}{4})}^4-1={(1+0.03)}^4-1=1.1255-1=0.1255\text{ или }12.55\mathrm{\%}$

3. Ежемесячно $n=12$: $ЕГС={(1+\frac{0.12}{12})}^{12}-1={(1+0.01)}^{12}-1=1.1268-1=0.1268\text{ или }12.68\mathrm{\%}$

Таким образом, доходность вкладов составит: а) 12.36% $пополугодиям$; б) 12.55% $ежеквартально$; в) 12.68% $ежемесячно$.

Для расчета эффективной годовой ставки процентов $ЕГС$ при начислении сложных процентов необходимо использовать следующую формулу:

$E={(1+\frac{r}{n})}^n-1$

где:

• $E$ — эффективная годовая ставка,
• $r$ — номинальная годовая ставка $вданномслучае12$,
• $n$ — количество начислений процентов в году.

Теперь рассчитаем ЕГС для трех случаев: при начислении процентов по полугодиям, ежеквартально и ежемесячно.

а) Начисление процентов по полугодиям

Здесь $n=2$ $дваразавгод$.

$E={(1+\frac{0,12}{2})}^2-1={(1+0,06)}^2-1=(1,06{)}^2-1=1,1236-1=0,1236$

Переведем в проценты:

$E\approx 12,36\mathrm{\%}$

б) Начисление процентов ежеквартально

Здесь $n=4$ $четыреразавгод$.

$E={(1+\frac{0,12}{4})}^4-1={(1+0,03)}^4-1=(1,03{)}^4-1$

Теперь вычислим $(1,03$^4 ):

$(1,03{)}^4\approx 1,1255$

Следовательно,

$E\approx 1,1255-1=0,1255$

Переведем в проценты:

$E\approx 12,55\mathrm{\%}$

в) Начисление процентов ежемесячно

Здесь $n=12$ $двенадцатьразвгод$.

$E={(1+\frac{0,12}{12})}^{12}-1={(1+0,01)}^{12}-1=(1,01{)}^{12}$

Теперь вычислим $(1,01$^{12} ):

$(1,01{)}^{12}\approx 1,1268$

Следовательно,

$E\approx 1,1268-1=0,1268$

Переведем в проценты:

$E\approx 12,68\mathrm{\%}$

Итоговые результаты

Таким образом, эффективные годовые ставки процентов при различных способах начисления составляют:

• а) По полугодиям: 12,36%
• б) Ежеквартально: 12,55%
• в) Ежемесячно: 12,68%

Эти значения показывают, как частота начисления процентов влияет на доходность вкладов. Чем чаще начисляются проценты, тем выше становится эффективная ставка.