Функция издержек фирмы- монополиста равна ТС=3Q^2 +60. Функция спроса на товар фирмы: Qd=35-2P. Производитель...

Чтобы определить, при каких ценах и объемах продаж фирма-монополист сможет максимизировать свою прибыль, необходимо пройти несколько шагов, которые включают в себя нахождение функции дохода, предельного дохода, предельных издержек и максимизацию прибыли.

1. Определение функции спроса:

   Дана функция спроса: $Q_d=35-2P$

   Из этой функции можно выразить цену $P$ через количество $Q$:

   $Q=35-2P⟹2P=35-Q⟹P=\frac{35-Q}{2}$

2. Определение функции дохода:

   Доход $TR$ $TotalRevenue$ равен цене $P$, умноженной на количество $Q$:

   $TR=P\cdot Q=\left(\frac{35-Q}{2}\right)\cdot Q=\frac{35Q-Q^2}{2}$

3. Определение функции издержек:

   Дана функция издержек: $TC=3Q^2+60$

4. Нахождение предельного дохода $MR$:

   Предельный доход $MR$ $MarginalRevenue$ — это производная функции дохода $TR$ по $Q$:

   $TR=\frac{35Q-Q^2}{2}⟹MR=\frac{d(TR)}{dQ}=\frac{35-2Q}{2}=17.5-Q$

5. Нахождение предельных издержек $MC$:

   Предельные издержки $MC$ $MarginalCost$ — это производная функции издержек $TC$ по $Q$:

   $TC=3Q^2+60⟹MC=\frac{d(TC)}{dQ}=6Q$

6. Максимизация прибыли:

   Для максимизации прибыли необходимо уравнять предельный доход и предельные издержки:

   $MR=MC⟹17.5-Q=6Q$

   Решаем это уравнение:

   $17.5=7Q⟹Q=\frac{17.5}{7}=2.5$

   Таким образом, оптимальный объем производства $Q=2.5$.

7. Определение цены:

   Теперь найдем соответствующую цену $P$ при $Q=2.5$ с использованием функции спроса:

   $P=\frac{35-Q}{2}=\frac{35-2.5}{2}=\frac{32.5}{2}=16.25$

Таким образом, фирма-монополист максимизирует свою прибыль при объеме продаж $Q=2.5$ единиц и цене $P=16.25$ денежных единиц.

Для нахождения точки максимума прибыли фирмы-монополиста необходимо найти производную функции прибыли по количеству проданного товара Q и приравнять ее к нулю.

Функция прибыли $\pi$ для фирмы-монополиста выглядит следующим образом: π = TR - TC, где TR - выручка от продажи товара, а TC - общие издержки. TR = P*Q, TC = 3Q^2 + 60.

Подставляя данные функции в формулу для прибыли, получаем: π = $P\ast Q$ - $3Q^2+60$.

Так как функция спроса на товар фирмы задана как Qd = 35 - 2P, мы можем выразить цену P через количество проданного товара Q: P = $35-Qd$ / 2.

Подставляем это выражение для P в формулу для прибыли: π = $(35-Qd$ / 2)*Q - $3Q^2+60$.

Упрощаем это выражение: π = $35Q-Q^2/2$ - $3Q^2+60$, π = 35Q - Q^2/2 - 3Q^2 - 60, π = 35Q - 5Q^2 - 60.

Теперь найдем производную прибыли по количеству проданного товара Q: dπ/dQ = 35 - 10Q.

Приравниваем производную к нулю и находим точку максимума: 35 - 10Q = 0, 10Q = 35, Q = 3.5.

Теперь найдем цену, соответствующую этому количеству товара: P = (35 - 2Q) / 2, P = (35 - 23.5) / 2, P = $35-7$ / 2, P = 28 / 2, P = 14.

Таким образом, фирма-монополист максимизирует прибыль при цене 14 и объеме продаж 3.5.