Функция полезности TU=(x+1)y, доход потребителя равен 8, цены продуктов x и y равны 4. Найти равновесный...

Для поиска равновесного набора потребительского выбора, где функция полезности задана как ( TU = (x+1)y ), доход потребителя равен 8, а цены продуктов ( x ) и ( y ) равны 4, необходимо учесть бюджетное ограничение и оптимизационное условие.

Бюджетное ограничение:

Доход потребителя составляет 8, а цены обоих товаров равны 4. Следовательно, бюджетное ограничение будет:

[ 4x + 4y = 8 ]

Упростим его:

[ x + y = 2 ]

Функция полезности:

Функция полезности задана как ( TU = (x+1)y ).

Оптимизация:

Для максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении используем метод Лагранжа или просто проанализируем уравнение. Поскольку это проблема с двумя переменными и линейными ограничениями, можно использовать метод граничного анализа.

Граничный анализ:

1. Перепишем бюджетное ограничение в виде:

   [ y = 2 - x ]

2. Подставим это в функцию полезности:

   [ TU = (x + 1)(2 - x) ]

   [ TU = 2x + 2 - x^2 - x ]

   [ TU = -x^2 + x + 2 ]

3. Найдем максимум функции полезности. Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу, открывающуюся вниз. Найдем вершину параболы:

   Формула для нахождения вершины ( x ) в параболе ( ax^2 + bx + c ) дает:

   [ x = -\frac{b}{2a} ]

   Здесь ( a = -1 ), ( b = 1 ):

   [ x = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} ]

4. Найдем ( y ), подставив ( x = \frac{1}{2} ) в уравнение бюджетного ограничения:

   [ y = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} ]

Ответ:

Равновесный набор, при котором потребитель максимизирует свою полезность, находится при ( x = \frac{1}{2} ) и ( y = \frac{3}{2} ).

Для нахождения равновесного набора необходимо найти оптимальное соотношение между потреблением продуктов x и y, при котором функция полезности достигает максимума при заданных ограничениях на доход потребителя и цены продуктов.

Сначала заметим, что цена продукта x равна цене продукта y, поэтому для упрощения расчетов можно считать, что цена обоих продуктов равна 4.

Для нахождения равновесного набора необходимо решить задачу оптимизации функции полезности TU=(x+1)y при ограничениях x+y=8 (доход потребителя) и x=4y (цены продуктов).

Подставляем в функцию полезности ограничения по ценам и доходу: TU=(4y+1)y=4y^2+y

Теперь находим производную функции полезности по y и приравниваем ее к нулю: d(TU)/dy=8y+1=0 8y=-1 y=-1/8

Таким образом, равновесный набор продуктов будет равен x=4*(-1/8)=-1/2 и y=-1/8. Однако такой результат нереалистичен, поскольку количество продуктов не может быть отрицательным. В данном случае равновесный набор не существует, поскольку заданные условия не могут быть выполнены.