Функция полезности TU=$x+1$y, доход потребителя равен 8, цены продуктов x и y равны 4. Найти равновесный...

Для поиска равновесного набора потребительского выбора, где функция полезности задана как $TU=(x+1$y ), доход потребителя равен 8, а цены продуктов $x$ и $y$ равны 4, необходимо учесть бюджетное ограничение и оптимизационное условие.

Бюджетное ограничение:

Доход потребителя составляет 8, а цены обоих товаров равны 4. Следовательно, бюджетное ограничение будет:

$4x+4y=8$

Упростим его:

$x+y=2$

Функция полезности:

Функция полезности задана как $TU=(x+1$y ).

Оптимизация:

Для максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении используем метод Лагранжа или просто проанализируем уравнение. Поскольку это проблема с двумя переменными и линейными ограничениями, можно использовать метод граничного анализа.

Граничный анализ:

1. Перепишем бюджетное ограничение в виде:

   $y=2-x$

2. Подставим это в функцию полезности:

   $TU=(x+1)(2-x)$

   $TU=2x+2-x^2-x$

   $TU=-x^2+x+2$

3. Найдем максимум функции полезности. Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу, открывающуюся вниз. Найдем вершину параболы:

   Формула для нахождения вершины $x$ в параболе $a{x}^2+bx+c$ дает:

   $x=-\frac{b}{2a}$

   Здесь $a=-1$, $b=1$:

   $x=-\frac{1}{2(-1)}=\frac{1}{2}$

4. Найдем $y$, подставив $x=\frac{1}{2}$ в уравнение бюджетного ограничения:

   $y=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Ответ:

Равновесный набор, при котором потребитель максимизирует свою полезность, находится при $x=\frac{1}{2}$ и $y=\frac{3}{2}$.

Для нахождения равновесного набора необходимо найти оптимальное соотношение между потреблением продуктов x и y, при котором функция полезности достигает максимума при заданных ограничениях на доход потребителя и цены продуктов.

Сначала заметим, что цена продукта x равна цене продукта y, поэтому для упрощения расчетов можно считать, что цена обоих продуктов равна 4.

Для нахождения равновесного набора необходимо решить задачу оптимизации функции полезности TU=$x+1$y при ограничениях x+y=8 $доходпотребителя$ и x=4y $ценыпродуктов$.

Подставляем в функцию полезности ограничения по ценам и доходу: TU=$4y+1$y=4y^2+y

Теперь находим производную функции полезности по y и приравниваем ее к нулю: d$TU$/dy=8y+1=0 8y=-1 y=-1/8

Таким образом, равновесный набор продуктов будет равен x=4*$-1/8$=-1/2 и y=-1/8. Однако такой результат нереалистичен, поскольку количество продуктов не может быть отрицательным. В данном случае равновесный набор не существует, поскольку заданные условия не могут быть выполнены.