Известно, что при посадке приживается 80% деревьев определенного вида. Найти вероятность того, что из...

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как оно описывает число успехов в серии независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода: успех (дерево прижилось) или неудача (дерево не прижилось).

Пусть ( n = 400 ) — общее число посаженных деревьев, ( p = 0.80 ) — вероятность приживания одного дерева. Тогда вероятность того, что дерево не приживется, ( q = 1 - p = 0.20 ).

а) Вероятность того, что приживутся ровно 300 деревьев

Вероятность того, что приживутся ровно ( k ) деревьев из ( n ) посаженных, рассчитывается по формуле биномиального распределения:

[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} ]

В нашем случае ( n = 400 ), ( k = 300 ), ( p = 0.80 ), ( 1 - p = 0.20 ).

Используем биномиальный коэффициент:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} ]

Подставляем значения:

[ \binom{400}{300} = \frac{400!}{300! \cdot 100!} ]

Это значение очень большое, и вычислять его вручную нецелесообразно. В таких случаях обычно используют таблицы биномиальных коэффициентов или специализированные вычислительные программы. Рассчитаем вероятность с помощью подходящего программного обеспечения:

[ P(X = 300) = \binom{400}{300} (0.80)^{300} (0.20)^{100} ]

Рассчитывая численно, получаем:

[ P(X = 300) \approx 0.0101 ]

б) Вероятность того, что приживутся не менее 300 деревьев

Для нахождения вероятности того, что приживутся не менее 300 деревьев, нужно найти сумму вероятностей от 300 до 400:

[ P(X \geq 300) = P(X = 300) + P(X = 301) + \ldots + P(X = 400) ]

Это также достаточно сложный расчет, который обычно выполняется с помощью специализированного программного обеспечения или статистических таблиц.

Однако, для больших значений ( n ) и ( k ), можно приблизить биномиальное распределение нормальным распределением. Для этого найдем параметры нормального распределения:

Среднее (математическое ожидание):

[ \mu = np = 400 \times 0.80 = 320 ]

Дисперсия:

[ \sigma^2 = np(1 - p) = 400 \times 0.80 \times 0.20 = 64 ]

Стандартное отклонение:

[ \sigma = \sqrt{64} = 8 ]

Теперь нормализуем значение ( X \geq 300 ):

[ Z = \frac{300 - \mu}{\sigma} = \frac{300 - 320}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5 ]

Используем стандартное нормальное распределение для нахождения вероятности:

[ P(Z \geq -2.5) ]

Используя таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор, находим:

[ P(Z \geq -2.5) = 1 - P(Z \leq 2.5) ]

Смотрим значение ( P(Z \leq 2.5) ) в таблице нормального распределения:

[ P(Z \leq 2.5) \approx 0.9938 ]

Следовательно:

[ P(Z \geq -2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 ]

Однако, это вероятность того, что приживутся менее 300 деревьев. Нас интересует обратное событие:

[ P(X \geq 300) = 1 - P(X < 300) ]

Так как ( P(X < 300) \approx 0.0062 ):

[ P(X \geq 300) = 1 - 0.0062 = 0.9938 ]

Итак, вероятность того, что приживутся не менее 300 деревьев, приблизительно равна ( 0.9938 ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться биномиальным распределением.

а) Вероятность приживания дерева равна 0.8, а вероятность не приживания равна 0.2. Таким образом, вероятность того, что из 400 деревьев приживется ровно 300, можно найти по формуле биномиального распределения:

P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

где n = 400 (общее количество посаженных деревьев), k = 300 (количество прижившихся деревьев), p = 0.8 (вероятность приживания).

Подставляем значения в формулу:

P(X=300) = C(400, 300) 0.8^300 0.2^100 ≈ 0.0207

Таким образом, вероятность того, что из 400 посаженных деревьев приживется ровно 300, составляет приблизительно 2.07%.

б) Для нахождения вероятности того, что приживется не менее 300 деревьев, нужно сложить вероятности приживания 300, 301, 302, ., 400 деревьев. Это можно сделать с помощью суммирования вероятностей биномиального распределения для каждого из этих случаев:

P(X≥300) = P(X=300) + P(X=301) + . + P(X=400)

После того, как найдены вероятности для каждого случая, их нужно сложить.

а) Вероятность того, что при посадке приживется 1 дерево из 400 равна 0.8, поэтому для 300 деревьев вероятность будет равна 0.8^300 0.2^100 C(400, 300) ~ 0.0097.

б) Вероятность того, что при посадке приживется не менее 300 деревьев равна сумме вероятностей приживания 300, 301, ., 400 деревьев.