Найти наращенную сумму и доход по сложным процентам, если 150 тыс. руб. инвестированы на 2 года по номинальной...

Для расчета наращенной суммы и дохода по сложным процентам при различных способах начисления процентов, можно использовать следующую формулу:

[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} ]

где:

• ( A ) — наращенная сумма (будущая стоимость инвестиции),
• ( P ) — первоначальная сумма (инвестированная сумма),
• ( r ) — номинальная процентная ставка (в десятичном виде),
• ( n ) — количество периодов начисления процентов в году,
• ( t ) — количество лет.

Давайте рассчитаем наращенную сумму и доход для каждого из случаев.

Данные:

• ( P = 150\,000 ) руб.
• ( r = 0.12 ) (12% годовых)
• ( t = 2 ) года

1. Начисление процентов по годам (( n = 1 )):

[ A = 150\,000 \left(1 + \frac{0.12}{1}\right)^{1 \cdot 2} = 150\,000 \left(1 + 0.12\right)^{2} = 150\,000 \left(1.12\right)^{2} ] [ A = 150\,000 \cdot 1.2544 = 188\,160 \text{ руб.} ] Доход: [ \text{Доход} = A - P = 188\,160 - 150\,000 = 38\,160 \text{ руб.} ]

2. Начисление процентов по полугодиям (( n = 2 )):

[ A = 150\,000 \left(1 + \frac{0.12}{2}\right)^{2 \cdot 2} = 150\,000 \left(1 + 0.06\right)^{4} = 150\,000 \left(1.06\right)^{4} ] [ A = 150\,000 \cdot 1.2625 = 189\,375 \text{ руб.} ] Доход: [ \text{Доход} = 189\,375 - 150\,000 = 39\,375 \text{ руб.} ]

3. Начисление процентов по кварталам (( n = 4 )):

[ A = 150\,000 \left(1 + \frac{0.12}{4}\right)^{4 \cdot 2} = 150\,000 \left(1 + 0.03\right)^{8} = 150\,000 \left(1.03\right)^{8} ] [ A = 150\,000 \cdot 1.2668 = 189\,999 \text{ руб.} ] Доход: [ \text{Доход} = 189\,999 - 150\,000 = 39\,999 \text{ руб.} ]

4. Начисление процентов по месяцам (( n = 12 )):

[ A = 150\,000 \left(1 + \frac{0.12}{12}\right)^{12 \cdot 2} = 150\,000 \left(1 + 0.01\right)^{24} = 150\,000 \left(1.01\right)^{24} ] [ A = 150\,000 \cdot 1.2682 = 190\,227 \text{ руб.} ] Доход: [ \text{Доход} = 190\,227 - 150\,000 = 40\,227 \text{ руб.} ]

Результаты:

1. По годам:

   • Наращенная сумма: 188,160 руб.
   • Доход: 38,160 руб.

2. По полугодиям:

   • Наращенная сумма: 189,375 руб.
   • Доход: 39,375 руб.

3. По кварталам:

   • Наращенная сумма: 189,999 руб.
   • Доход: 39,999 руб.

4. По месяцам:

   • Наращенная сумма: 190,227 руб.
   • Доход: 40,227 руб.

Таким образом, с увеличением частоты начисления процентов, наращенная сумма и доход также увеличиваются, что демонстрирует эффект сложных процентов.

Для решения задачи по сложным процентам нам нужно использовать формулу расчета наращенной суммы:

[ S = P \times (1 + i)^n ]

Где:

• ( S ) — наращенная сумма;
• ( P ) — первоначальный капитал (вклад);
• ( i ) — ставка процентов за один период начисления (эффективная ставка для периода);
• ( n ) — общее количество периодов начисления.

Также доход (( D )) можно найти как разницу между наращенной суммой (( S )) и первоначальной суммой (( P )):

[ D = S - P ]

Итак, по условиям задачи:

• ( P = 150\,000 \, \text{руб.} );
• Номинальная годовая ставка: ( r = 12\% = 0.12 );
• Срок: ( t = 2 \, \text{года} ).

Теперь рассмотрим начисление процентов при разных способах:

1. Начисление процентов по годам (1 раз в год)

В этом случае:

• Количество начислений в год: ( m = 1 );
• Ставка за период: ( i = \frac{r}{m} = \frac{0.12}{1} = 0.12 );
• Общее количество периодов: ( n = m \times t = 1 \times 2 = 2 ).

Формула для наращенной суммы: [ S = 150\,000 \times (1 + 0.12)^2 = 150\,000 \times (1.12)^2 = 150\,000 \times 1.2544 = 188\,160 \, \text{руб.} ]

Доход: [ D = S - P = 188\,160 - 150\,000 = 38\,160 \, \text{руб.} ]

2. Начисление процентов по полугодиям (2 раза в год)

В этом случае:

• Количество начислений в год: ( m = 2 );
• Ставка за период: ( i = \frac{r}{m} = \frac{0.12}{2} = 0.06 );
• Общее количество периодов: ( n = m \times t = 2 \times 2 = 4 ).

Формула для наращенной суммы: [ S = 150\,000 \times (1 + 0.06)^4 = 150\,000 \times (1.06)^4 = 150\,000 \times 1.2625 = 189\,375 \, \text{руб.} ]

Доход: [ D = S - P = 189\,375 - 150\,000 = 39\,375 \, \text{руб.} ]

3. Начисление процентов по кварталам (4 раза в год)

В этом случае:

• Количество начислений в год: ( m = 4 );
• Ставка за период: ( i = \frac{r}{m} = \frac{0.12}{4} = 0.03 );
• Общее количество периодов: ( n = m \times t = 4 \times 2 = 8 ).

Формула для наращенной суммы: [ S = 150\,000 \times (1 + 0.03)^8 = 150\,000 \times (1.03)^8 = 150\,000 \times 1.2668 = 190\,020 \, \text{руб.} ]

Доход: [ D = S - P = 190\,020 - 150\,000 = 40\,020 \, \text{руб.} ]

4. Начисление процентов по месяцам (12 раз в год)

В этом случае:

• Количество начислений в год: ( m = 12 );
• Ставка за период: ( i = \frac{r}{m} = \frac{0.12}{12} = 0.01 );
• Общее количество периодов: ( n = m \times t = 12 \times 2 = 24 ).

Формула для наращенной суммы: [ S = 150\,000 \times (1 + 0.01)^{24} = 150\,000 \times (1.01)^{24} = 150\,000 \times 1.2682 = 190\,230 \, \text{руб.} ]

Доход: [ D = S - P = 190\,230 - 150\,000 = 40\,230 \, \text{руб.} ]

Итоги

Вывод

Чем чаще начисляются проценты, тем выше наращенная сумма и доход. Это связано с эффектом сложного процента, при котором проценты начинают начисляться на ранее начисленные проценты.

Для расчёта наращенной суммы и дохода по сложным процентам можно использовать формулу:

[ S = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} ]

где:

• ( S ) — наращенная сумма,
• ( P ) — первоначальная сумма (150 000 руб.),
• ( r ) — номинальная ставка (0.12),
• ( n ) — количество начислений процентов в год,
• ( t ) — количество лет (2).

Теперь вычислим для каждого способа начисления:

1. По годам (n = 1): [ S = 150000 \left(1 + \frac{0.12}{1}\right)^{1 \cdot 2} = 150000 \cdot (1.12)^2 \approx 150000 \cdot 1.2544 \approx 188,160 \text{ руб.} ] Доход: ( 188160 - 150000 = 38160 \text{ руб.} )

2. По полугодиям (n = 2): [ S = 150000 \left(1 + \frac{0.12}{2}\right)^{2 \cdot 2} = 150000 \left(1 + 0.06\right)^{4} = 150000 \cdot (1.06)^4 \approx 150000 \cdot 1.2625 \approx 189,375 \text{ руб.} ] Доход: ( 189375 - 150000 = 39375 \text{ руб.} )

3. По кварталам (n = 4): [ S = 150000 \left(1 + \frac{0.12}{4}\right)^{4 \cdot 2} = 150000 \left(1 + 0.03\right)^{8} = 150000 \cdot (1.03)^8 \approx 150000 \cdot 1.2668 \approx 189,999 \text{ руб.} ] Доход: ( 189999 - 150000 = 39999 \text{ руб.} )

4. По месяцам (n = 12): [ S = 150000 \left(1 + \frac{0.12}{12}\right)^{12 \cdot 2} = 150000 \left(1 + 0.01\right)^{24} = 150000 \cdot (1.01)^{24} \approx 150000 \cdot 1.2682 \approx 190,227 \text{ руб.} ] Доход: ( 190227 - 150000 = 40227 \text{ руб.} )

Итоговые результаты:

• По годам: наращенная сумма — 188,160 руб., доход — 38,160 руб.
• По полугодиям: наращенная сумма — 189,375 руб., доход — 39,375 руб.
• По кварталам: наращенная сумма — 189,999 руб., доход — 39,999 руб.
• По месяцам: наращенная сумма — 190,227 руб., доход — 40,227 руб.