Найти объем продаж при котором выручка максимальна,величину выручки: функция спроса= 150-3Р, функция...

Чтобы найти объем продаж, при котором выручка максимальна, нам нужно сначала определить цену, при которой спрос и предложение равны, а затем использовать это значение для расчета выручки.

1. Определение равновесной цены и количества. Для этого приравняем функции спроса и предложения.

   Функция спроса:
   ( Q_d = 150 - 3P )

   Функция предложения:
   ( Q_s = 50 + 2P )

   Приравниваем спрос и предложение:
   ( 150 - 3P = 50 + 2P )

   Решим это уравнение:

   [ 150 - 50 = 2P + 3P ]

   [ 100 = 5P ]

   [ P = 20 ]

2. Нахождение объема продаж. Теперь подставим найденную цену ( P = 20 ) в одну из функций (например, в функцию спроса) для нахождения объемов:

   [ Q_d = 150 - 3 \cdot 20 = 150 - 60 = 90 ]

   Таким образом, равновесный объем продаж равен 90 единицам.

3. Расчет выручки. Выручка (R) рассчитывается как произведение объема продаж (Q) на цену (P):

   [ R = P \cdot Q = 20 \cdot 90 = 1800 ]

Таким образом, объем продаж, при котором выручка максимальна, составляет 90 единиц, а величина выручки — 1800 денежных единиц.

1. Проверка на максимизацию выручки. Чтобы удостовериться, что найденная точка действительно максимизирует выручку, можно рассмотреть производную функции выручки. Выручка R в общем виде выражается как:

   [ R = P \cdot Q ]

   Подставив ( Q ) из функции спроса:

   [ R = P \cdot (150 - 3P) = 150P - 3P^2 ]

   Для нахождения максимума, найдем производную R по P и приравняем ее к нулю:

   [ \frac{dR}{dP} = 150 - 6P = 0 ]

   Решим уравнение:

   [ 6P = 150 \implies P = 25 ]

   Теперь подставим ( P = 25 ) в функцию спроса, чтобы найти новый объем:

   [ Q_d = 150 - 3 \cdot 25 = 150 - 75 = 75 ]

   Рассчитаем новую выручку:

   [ R = 25 \cdot 75 = 1875 ]

2. Вывод. Таким образом, максимальная выручка достигается при цене 25 и объеме 75 единиц, а величина выручки составляет 1875 денежных единиц.

Чтобы найти объем продаж, при котором выручка максимальна, и величину максимальной выручки, нужно внимательно рассмотреть задачу. Начнем с анализа.

Дано:

1. Функция спроса: ( Q_d = 150 - 3P ),
2. Функция предложения: ( Q_s = 50 + 2P ).

Здесь:

• ( Q_d ) — количество товара, которое потребители готовы купить (спрос);
• ( Q_s ) — количество товара, которое производители готовы предложить (предложение);
• ( P ) — цена товара.

Шаг 1: Условие равновесия

В рыночной экономике объем продаж определяется равновесием спроса и предложения. То есть, в равновесии ( Q_d = Q_s ). Подставим значения функций спроса и предложения:

[ 150 - 3P = 50 + 2P. ]

Решим это уравнение относительно ( P ):

[ 150 - 50 = 3P + 2P, ] [ 100 = 5P, ] [ P = 20. ]

Таким образом, равновесная цена ( P = 20 ).

Шаг 2: Определение равновесного объема (( Q ))

Подставим ( P = 20 ) в любую из функций (спроса или предложения), чтобы найти равновесный объем ( Q ).

Используем функцию спроса ( Q_d = 150 - 3P ): [ Q_d = 150 - 3(20), ] [ Q_d = 150 - 60 = 90. ]

Или проверим через функцию предложения ( Q_s = 50 + 2P ): [ Q_s = 50 + 2(20), ] [ Q_s = 50 + 40 = 90. ]

Равновесный объем ( Q = 90 ).

Шаг 3: Выручка (( R ))

Выручка ( R ) — это произведение цены на количество проданного товара: [ R = P \cdot Q. ]

Подставим ( P = 20 ) и ( Q = 90 ): [ R = 20 \cdot 90 = 1800. ]

Шаг 4: Проверка максимальности выручки

Чтобы проверить, действительно ли выручка максимальна при равновесной цене, вспомним, что выручка зависит от функции спроса, поскольку ( Q = Q_d ). Выручка выражается как: [ R = P \cdot Q_d, ] где ( Q_d = 150 - 3P ). Тогда: [ R = P \cdot (150 - 3P), ] [ R = 150P - 3P^2. ]

Это квадратичная функция, график которой — парабола, открытая вниз (так как коэффициент при ( P^2 ) отрицательный). Максимальная выручка достигается в вершине параболы. Координата вершины по ( P ) определяется формулой: [ P = -\frac{b}{2a}, ] где ( a = -3 ) и ( b = 150 ) из уравнения ( R = -3P^2 + 150P ). Подставим значения: [ P = -\frac{150}{2(-3)} = \frac{150}{6} = 25. ]

Максимальная выручка достигается при цене ( P = 25 ). Подставим это значение в функцию спроса, чтобы найти ( Q_d ): [ Q_d = 150 - 3(25), ] [ Q_d = 150 - 75 = 75. ]

Теперь вычислим выручку: [ R = P \cdot Q_d = 25 \cdot 75 = 1875. ]

Ответ:

1. Объем продаж, при котором выручка максимальна: ( Q = 75 ).
2. Максимальная выручка: ( R = 1875 ).

Для нахождения объема продаж, при котором выручка максимальна, необходимо определить равновесную цену и количество, при котором спрос равен предложению.

1. Установим равенство функции спроса и функции предложения: [ 150 - 3P = 50 + 2P ] Решим это уравнение: [ 150 - 50 = 3P + 2P ] [ 100 = 5P \quad \Rightarrow \quad P = 20 ]

2. Подставим найденную цену ( P = 20 ) в одну из функций для нахождения объема продаж: [ Q = 150 - 3(20) = 150 - 60 = 90 ] Или из функции предложения: [ Q = 50 + 2(20) = 50 + 40 = 90 ]

3. Теперь найдем величину выручки: [ Выручка = P \times Q = 20 \times 90 = 1800 ]

Таким образом, объем продаж, при котором выручка максимальна, составляет 90 единиц, а величина выручки равна 1800.