Обратная функция спроса на продукцию фирмы-монополиста имеет вид: p(Q) = 304-2Q где Q - выпуск монополиста. Функция издержек монополиста имеет вид: TC(Q) = +4Q+500. Монополист максимизирует доход. Минимальный уровень прибыли, который устраивает монополиста, равен 1500$. Определите равновесное предложение монополиста.
Для определения равновесного предложения монополиста необходимо найти количество продукции, при котором прибыль монополиста будет равна минимальному уровню прибыли, который составляет 1500$.
Для начала определим выручку монополиста, которая вычисляется как произведение цены продукции на количество продукции: R(Q) = p(Q) Q = (304-2Q) Q = 304Q - 2Q^2
Затем найдем функцию прибыли, вычитая из выручки общие издержки: π(Q) = R(Q) - TC(Q) = (304Q - 2Q^2) - (4Q + 500) = 300Q - 2Q^2 - 500
Для максимизации прибыли монополист должен найти производную функции прибыли по количеству продукции и приравнять ее к нулю: π'(Q) = 300 - 4Q = 0 4Q = 300 Q = 75
Таким образом, равновесное предложение монополиста составляет 75 единиц продукции.
Для того чтобы найти равновесное предложение монополиста, нужно сначала определить объем выпуска (Q), при котором монополист максимизирует свою прибыль. Прибыль определяется как разница между общим доходом (TR) и общими издержками (TC).
Определим общий доход (TR):
Общий доход (TR) определяется как произведение цены (p) на количество продукции (Q): [ TR = p(Q) \cdot Q ] Подставим выражение для обратной функции спроса ( p(Q) = 304 - 2Q ) в формулу TR: [ TR = (304 - 2Q) \cdot Q = 304Q - 2Q^2 ]
Определим общие издержки (TC):
Функция издержек монополиста дана как: [ TC(Q) = 4Q + 500 ]
Определим прибыль (π):
Прибыль (π) определяется как разница между общим доходом и общими издержками: [ \pi = TR - TC = (304Q - 2Q^2) - (4Q + 500) ] Упростим это выражение: [ \pi = 304Q - 2Q^2 - 4Q - 500 = 300Q - 2Q^2 - 500 ]
Найдем объем выпуска (Q), максимизирующий прибыль:
Чтобы максимизировать прибыль, нужно взять производную прибыли по Q и приравнять её к нулю: [ \frac{d\pi}{dQ} = 300 - 4Q = 0 ] Решим это уравнение: [ 4Q = 300 ] [ Q = 75 ]
Проверим, соответствует ли минимальный уровень прибыли требуемому значению:
Подставим найденное значение Q в уравнение прибыли: [ \pi(75) = 300 \cdot 75 - 2 \cdot 75^2 - 500 ] [ \pi(75) = 22500 - 11250 - 500 ] [ \pi(75) = 10750 - 500 = 10250 ]
Так как 10250$ намного больше минимально допустимого уровня прибыли в 1500$, можно считать это решение удовлетворительным.
Таким образом, равновесное предложение монополиста, которое максимизирует его прибыль и удовлетворяет минимально приемлемому уровню прибыли, составляет ( Q = 75 ) единиц.
