Обратная функция спроса Р(q) = 650 - 5q, функция издержек в краткосрочном периоде ТС = 100 – 10q + q2...

а) Для определения равновесных цен и объема производства монополистической отрасли в краткосрочном периоде мы должны найти точку пересечения кривых спроса и издержек. Для этого нам нужно найти q, при котором Р(q) = ТС(q).

Подставляем Р(q) и ТС(q) в уравнение: 650 - 5q = 100 - 10q + q^2

Переносим все члены в одну сторону: q^2 - 5q + 550 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим q: q = (5 ± √(5^2 - 41550)) / 2*1 q = (5 ± √(-2050)) / 2 q ≈ 24.5 или q ≈ 1.5

Таким образом, равновесный объем производства составляет примерно 24.5 или 1.5 единицы товара.

Далее, чтобы найти равновесные цены, подставляем найденное значение q в любое из уравнений. Например, подставим q ≈ 24.5: P ≈ 650 - 5*24.5 P ≈ 650 - 122.5 P ≈ 527.5

Или для q ≈ 1.5: P ≈ 650 - 5*1.5 P ≈ 650 - 7.5 P ≈ 642.5

Итак, равновесные цены составляют примерно 527.5 или 642.5.

б) Для расчета прибыли производителя нужно вычесть общие издержки (ТС) из общих доходов (Pq): При q ≈ 24.5: Прибыль = Pq - ТС Прибыль = 527.5 24.5 - (100 - 1024.5 + 24.5^2) Прибыль ≈ 12918.75 - 100 Прибыль ≈ 12818.75

При q ≈ 1.5: Прибыль = Pq - ТС Прибыль = 642.5 1.5 - (100 - 10*1.5 + 1.5^2) Прибыль ≈ 963.75 - 100 Прибыль ≈ 863.75

Таким образом, прибыль производителя составляет примерно 12818.75 или 863.75 в зависимости от объема производства.

Для того чтобы определить равновесные цены и объем производства монополиста в краткосрочном периоде, а также прибыль производителя, необходимо выполнить несколько шагов.

а) Определение равновесных цены и объема производства

1. Обратная функция спроса (цена в зависимости от количества): ( P(q) = 650 - 5q )

2. Функция издержек (общие издержки): ( TC = 100 - 10q + q^2 )

3. Функция прибыли: Прибыль ((\pi)) можно определить как разницу между общим доходом (TR) и общими издержками (TC). [ \pi = TR - TC ]

4. Общий доход (TR): Общий доход равен цене, умноженной на количество: [ TR = P \cdot q = (650 - 5q)q = 650q - 5q^2 ]

5. Функция прибыли: [ \pi = TR - TC = (650q - 5q^2) - (100 - 10q + q^2) ] [ \pi = 650q - 5q^2 - 100 + 10q - q^2 ] [ \pi = 660q - 6q^2 - 100 ]

6. Максимизация прибыли: Для максимизации прибыли необходимо найти первую производную функции прибыли по ( q ) и приравнять её к нулю: [ \frac{d\pi}{dq} = 660 - 12q = 0 ] [ 660 = 12q ] [ q = \frac{660}{12} = 55 ]

7. Равновесная цена: Подставим найденное значение ( q ) в обратную функцию спроса: [ P = 650 - 5q = 650 - 5 \cdot 55 = 650 - 275 = 375 ]

Таким образом, равновесное количество ( q ) и равновесная цена ( P ) для монополиста в краткосрочном периоде составляют: [ q = 55 ] [ P = 375 ]

б) Определение прибыли производителя

1. Общие доходы (TR): [ TR = P \cdot q = 375 \cdot 55 = 20625 ]

2. Общие издержки (TC): Используем функцию издержек для подсчета общих издержек при ( q = 55 ): [ TC = 100 - 10q + q^2 = 100 - 10 \cdot 55 + 55^2 ] [ TC = 100 - 550 + 3025 ] [ TC = 2575 ]

3. Прибыль ((\pi)): [ \pi = TR - TC = 20625 - 2575 = 18050 ]

Итак, прибыль производителя в краткосрочном периоде составляет: [ \pi = 18050 ]

Итог:

а) Равновесные цена и объем производства монополиста в краткосрочном периоде: [ P = 375 ] [ q = 55 ]

б) Прибыль производителя: [ \pi = 18050 ]