Правительство получило иностранный заем и использовала эти средства на финансирование инвестиционных проектов, которые позволяли получать ежегодный прирост ВВП в размере 500 млн. долл. Ежегодные процентные выплаты правительства по обслуживанию государственного долга составили 100 млн. долл., а через 5 лет правительство полностью погасила свой внешний долг. Рассчитайте (без использования сложных процентов), какова была величина полученного правительством иностранного займа?
Величина полученного правительством иностранного займа составляла 400 млн. долларов.
Для того чтобы рассчитать величину полученного правительством иностранного займа, необходимо учитывать ежегодные процентные выплаты и прирост ВВП, который эти инвестиционные проекты обеспечивали.
Дано:
Предположим, что правительство получило заем в размере ( P ) и процентная ставка по этому займу составляет ( r ).
Ежегодные процентные выплаты можно представить как: [ P \times r = 100 \text{ млн долларов} ]
За 5 лет правительство полностью погасило заем. Это означает, что правительство возвратило основную сумму займа ( P ) и заплатило проценты на протяжении 5 лет.
Нам нужно найти ( P ). Для этого используем следующее уравнение:
[ P + 5 \times (P \times r) = \text{Сумма всех выплат за 5 лет} ]
Из условия задачи известно, что прирост ВВП (500 млн долларов ежегодно) позволяет правительству покрывать процентные выплаты (100 млн долларов ежегодно) и, вероятно, основную сумму займа тоже.
Суммарный прирост ВВП за 5 лет: [ 5 \times 500 = 2500 \text{ млн долларов} ]
Суммарные процентные выплаты за 5 лет: [ 5 \times 100 = 500 \text{ млн долларов} ]
Таким образом, прирост ВВП превышает процентные выплаты и позволяет правительству погасить основной долг.
Сумма всех выплат правительством за 5 лет: [ 2500 \text{ млн долларов} - 500 \text{ млн долларов (на проценты)} = 2000 \text{ млн долларов} ]
Теперь решим уравнение: [ P + 5P \times r = 2000 \text{ млн долларов} ]
Так как ( P \times r = 100 \text{ млн долларов} ), то:
[ P \times r = 100 \text{ млн долларов} ] [ r = \frac{100}{P} ]
Подставляем ( r ) в основное уравнение: [ P + 5P \times \frac{100}{P} = 2000 \text{ млн долларов} ] [ P + 500 = 2000 \text{ млн долларов} ] [ P = 2000 - 500 ] [ P = 1500 \text{ млн долларов} ]
Таким образом, величина полученного правительством иностранного займа составила 1500 млн долларов.
Для решения данной задачи можно воспользоваться простым расчетом:
Ежегодный прирост ВВП в размере 500 млн. долл. позволял правительству выплачивать проценты по долгу в размере 100 млн. долл. ежегодно. Следовательно, 500 млн. долл. - 100 млн. долл. = 400 млн. долл. оставалось для погашения основного долга.
Если через 5 лет правительство полностью погасило свой внешний долг, то за это время было погашено 5 * 400 млн. долл. = 2000 млн. долл.
Таким образом, величина полученного правительством иностранного займа составила 2000 млн. долл.
