Пусть функция издержек фирмы- манополиста равна TC(Q)= Q²+60. Функция спроса на товар фирмы Qd=30-2P. TC, P-в долл., Q- в тыс шт. Степень ее монопольной власти равна? (по индексу Ларнера)
Пусть функция издержек фирмы- манополиста равна TC(Q)= Q²+60. Функция спроса на товар фирмы Qd=30-2P. TC, P-в долл., Q- в тыс шт. Степень ее монопольной власти равна? (по индексу Ларнера)
Для определения степени монопольной власти по индексу Ларнера необходимо вычислить отношение предельных издержек к средним издержкам фирмы-монополиста.
Предельные издержки (MC) определяются как производная от функции издержек по количеству произведенного товара Q: MC(Q) = d(TC(Q))/dQ = 2Q
Средние издержки (AC) вычисляются как отношение общих издержек к количеству произведенного товара: AC(Q) = TC(Q)/Q = Q + 60/Q
Далее находим отношение предельных издержек к средним издержкам: L(Q) = MC(Q)/AC(Q) = (2Q) / (Q + 60/Q)
Для нахождения степени монопольной власти по индексу Ларнера необходимо найти значение Q, при котором производная от L(Q) равна нулю: d(L(Q))/dQ = 0 2 - 60/Q² = 0 Q² = 30 Q = √30 ≈ 5.48
Таким образом, степень монопольной власти по индексу Ларнера равна 5.48. Это означает, что фирма-монополист имеет довольно высокую степень монопольной власти, что позволяет ей устанавливать цены выше рыночного уровня и получать дополнительные прибыли.
Для определения степени монопольной власти фирмы можно использовать индекс Ларнера, который вычисляется по формуле:
[ L = \frac{P - MC}{P} ]
где ( P ) – цена товара, а ( MC ) – предельные издержки (marginal cost). Предельные издержки находятся как производная функции общих издержек по количеству товара ( Q ), то есть ( MC = \frac{dTC}{dQ} ).
Вычисление предельных издержек (MC): Дана функция общих издержек ( TC(Q) = Q^2 + 60 ). Тогда предельные издержки будут равны: [ MC = \frac{d(Q^2 + 60)}{dQ} = 2Q ]
Выразим цену ( P ) через ( Q ): Функция спроса дана как ( Qd = 30 - 2P ). Отсюда выразим ( P ) через ( Q ): [ Q = 30 - 2P ] [ 2P = 30 - Q ] [ P = 15 - 0.5Q ]
Найдем оптимальное количество продукции ( Q ), при котором максимизируется прибыль: Максимизация прибыли достигается, когда ( MR = MC ). ( MR ) - предельный доход, для монополиста вычисляется как производная от дохода ( R = PQ ): [ R = (15 - 0.5Q)Q = 15Q - 0.5Q^2 ] [ MR = \frac{dR}{dQ} = 15 - Q ] Приравняем ( MR ) и ( MC ): [ 15 - Q = 2Q ] [ 3Q = 15 ] [ Q = 5 ]
Подстановка ( Q ) в уравнение цены ( P ): [ P = 15 - 0.5 \times 5 = 15 - 2.5 = 12.5 ]
Расчет индекса Ларнера: [ MC = 2Q = 2 \times 5 = 10 ] [ L = \frac{P - MC}{P} = \frac{12.5 - 10}{12.5} = \frac{2.5}{12.5} = 0.2 ]
Индекс Ларнера равен 0.2, что означает наличие монопольной власти у фирмы. Чем ближе значение индекса к 1, тем выше степень монопольной власти.
