Спрос на продукцию фирмы определяется формулой : Qd=5000-2P. Общие затраты этой фирмы связаны с кол-вом...

a) Для определения максимальной прибыли фирмы необходимо найти точку, где разница между выручкой и общими затратами будет наибольшей. Прибыль (Π) вычисляется по формуле: Π = В - С, где В - выручка, С - общие затраты. Выручка (В) можно найти, умножив цену продажи (P) на количество продукции (Q), то есть В = P Q. Таким образом, прибыль можно представить как Π = P Q - (3Q^2 + 8Q + 60000).

b) Чтобы определить количество продукции, которое фирма произведет, необходимо найти точку, где спрос на продукцию равен предложению. Спрос на продукцию фирмы задан формулой Qd = 5000 - 2P, а предложение - Qs = Q. Подставляем значение Qd вместо P в формулу Qs и находим количество продукции.

c) Цена продукции, по которой фирма будет продавать свою продукцию, можно найти, решая уравнение Qd = Qs. Подставляем значение Qd вместо P в формулу спроса и находим цену, при которой спрос и предложение совпадают.

Для решения задачи по определению максимальной прибыли фирмы, количества произведенной продукции и цены, по которой фирма будет продавать свою продукцию, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение функции прибыли

Прибыль фирмы ((\pi)) определяется как разница между общими выручками (TR) и общими затратами (TC):

[ \pi = TR - TC ]

2. Определение функции выручки

Выручка (TR) рассчитывается как произведение цены (P) на количество проданной продукции (Q):

[ TR = P \times Q ]

Спрос на продукцию фирмы определяется формулой:

[ Q_d = 5000 - 2P ]

Для нахождения цены (P) выразим ее через количество продукции (Q):

[ Q = 5000 - 2P \implies P = \frac{5000 - Q}{2} ]

Теперь подставим (P) в формулу выручки:

[ TR = Q \times \frac{5000 - Q}{2} = \frac{5000Q - Q^2}{2} ]

3. Определение функции затрат

Общие затраты (TC) связаны с количеством выпускаемой продукции следующим образом:

[ TC = 3Q_s^2 + 8Q_s + 60000 ]

4. Определение функции прибыли

Теперь подставим (TR) и (TC) в формулу прибыли:

[ \pi = \frac{5000Q - Q^2}{2} - (3Q^2 + 8Q + 60000) ]

Преобразуем выражение:

[ \pi = \frac{5000Q - Q^2}{2} - 3Q^2 - 8Q - 60000 ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \pi = \frac{5000Q - Q^2 - 6Q^2 - 16Q - 120000}{2} ]

[ \pi = \frac{5000Q - 7Q^2 - 16Q - 120000}{2} ]

[ \pi = \frac{-7Q^2 + 4984Q - 120000}{2} ]

[ \pi = -\frac{7Q^2}{2} + 2492Q - 60000 ]

5. Определение количества продукции для максимальной прибыли

Для нахождения максимальной прибыли нужно найти первую производную функции прибыли по (Q) и приравнять её к нулю:

[ \frac{d\pi}{dQ} = -7Q + 2492 = 0 ]

Решим уравнение:

[ -7Q + 2492 = 0 ]

[ Q = \frac{2492}{7} = 356 ]

6. Определение цены

Теперь, зная оптимальное количество продукции (Q), найдем цену (P):

[ P = \frac{5000 - Q}{2} = \frac{5000 - 356}{2} = \frac{4644}{2} = 2322 ]

7. Определение максимальной прибыли

Подставим найденное количество продукции (Q) в функцию прибыли:

[ \pi = -\frac{7(356)^2}{2} + 2492 \times 356 - 60000 ]

[ \pi = -\frac{7 \times 126736}{2} + 2492 \times 356 - 60000 ]

[ \pi = -443576 + 887552 - 60000 ]

[ \pi = 383976 - 60000 ]

[ \pi = 323976 ]

Ответы:

a) Максимальная прибыль фирмы составляет 323976 единиц.

b) Фирма произведет 356 единиц продукции.

c) Фирма будет продавать продукцию по цене 2322 единицы за единицу продукции.

а) Максимальная прибыль фирмы будет достигнута в точке, где предельный доход равен предельным затратам. Предельный доход (MR) = d(QdP)/dQ = 5000 - 4P Предельные затраты (MC) = dC/dQ = 6Qs + 8 Приравниваем MR и MC: 5000 - 4P = 6Qs + 8 5000 - 4P = 6Qs + 8 4P + 6Qs = 4992 б) Для определения количества продукции, которое фирма произведет, нужно решить уравнение спроса Qd = 5000 - 2P: 5000 - 2P = 4P + 6Qs 8P = 4992 P = 624 Qd = 5000 - 2624 Qd = 3752 в) Цена продажи продукции будет равна 624.