Спрос на продукцию монополиста описывается функцией Q=800-P. Монополист установил такую цену на товар, при которой эластичность спроса на него равна (-3). Определить цену и оптимальный объем для данной фирмы.
Спрос на продукцию монополиста описывается функцией Q=800-P. Монополист установил такую цену на товар, при которой эластичность спроса на него равна (-3). Определить цену и оптимальный объем для данной фирмы.
Для решения задачи нам нужно воспользоваться данными о функции спроса и эластичности спроса. Функция спроса у нас задана как ( Q = 800 - P ). Эластичность спроса ( E_d ) при данной цене равна -3.
Эластичность спроса по цене ( E_d ) определяется как:
[ E_d = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} ]
Первый шаг - найти производную функции спроса по цене ( P ):
[ \frac{dQ}{dP} = -1 ]
Теперь подставим известные значения в формулу для эластичности. Нам известно, что ( E_d = -3 ):
[ -3 = (-1) \cdot \frac{P}{Q} ]
Упростим уравнение:
[ -3 = -\frac{P}{Q} ]
[ 3 = \frac{P}{Q} ]
Теперь выразим ( P ) через ( Q ):
[ P = 3Q ]
Подставим это выражение в функцию спроса ( Q = 800 - P ):
[ Q = 800 - 3Q ]
Сложим подобные:
[ 4Q = 800 ]
[ Q = 200 ]
Теперь найдем цену ( P ), используя выражение ( P = 3Q ):
[ P = 3 \cdot 200 ]
[ P = 600 ]
Итак, цена, при которой эластичность спроса равна -3, составляет 600 денежных единиц, а оптимальный объем выпуска для фирмы составляет 200 единиц продукции.
Таким образом, цена ( P ) при эластичности спроса -3 равна 600, а оптимальный объем ( Q ) равен 200.
Цена товара равна 400, оптимальный объем продукции - 400 единиц.
Для определения цены и оптимального объема продукции монополиста можно воспользоваться формулой для эластичности спроса:
E = (% изменения спроса) / (% изменения цены)
В данном случае эластичность спроса равна -3, что означает, что спрос на продукцию монополиста является упругим. Это означает, что при увеличении цены на 1%, спрос на продукцию уменьшится на 3%.
Изначально у нас есть функция спроса Q = 800 - P. Чтобы найти оптимальную цену и объем продукции, нужно найти точку, в которой монополист получит максимальную выручку.
Для этого нужно найти производную от функции выручки R = P * Q и приравнять ее к нулю:
dR/dP = Q + P * dQ/dP = 0
Подставляем в эту формулу значение эластичности спроса (-3):
800 - P + P * (-3) = 0
800 - 4P = 0
P = 200
Таким образом, оптимальная цена для монополиста равна 200, а оптимальный объем продукции можно найти подставив значение цены обратно в функцию спроса:
Q = 800 - 200 = 600
Итак, оптимальная цена для монополиста составляет 200, а оптимальный объем продукции - 600 единиц.
